黄金分割点 

出的题目很好，本来不同学科只是最本质的真理的不同表象而已，愿闻详解。

感性的数学与理智的音乐

难道不可以把音乐描述为感性的数学，把数学描述为理智的音乐吗？

                                                                                ──J．J．西尔威斯特

在古希腊神话中，智慧女神叫雅典娜对森林中的阿里安德妮说：“挽起你的弓吧，向相反的方向各射出一支羽箭。当他们在飞行中相交的时候，世界就不是原来那个样子了！”它们带着截然不同的啸声，飞越了辽阔的时间和空间，突然在一点上重新相交了！在这两支羽箭相交的地方，绽放出人类文明的奇葩。人类射出的这两支飞箭就是艺术和科学。

音乐与大自然

古希腊人把音乐的标志画成一张弓，上面有弦，有箭。弓箭是一种狩猎的工具，当利箭呼啸着撕碎空气，击中猎物，弓弦也会发出美妙鸣响。可见，古人是人诸如狩猎的世俗生活中激发出音乐的灵感。而其本身又是一种乐器。在中国，传说黄帝命一位名叫伶伦的乐官到西山采集竹子，作为十二律的律管。这些典故都反应出音乐来自自然。

大自然是一位数学家，菲波那契数便是它的魔术之手。众所周知，许多花朵的花瓣是菲波那齐数：水仙花3瓣，金凤花5瓣，翠雀花8瓣，金盏花13瓣，紫苑花21瓣，雏菊花34，55或89瓣，向日葵的花盘上面有21个顺时针旋形与34个逆时针旋形；在动物中还可以发现一些软体动物的甲壳花纹、昆虫翅膀对的数目在一定程度上符合这个数列；一些无机物质的原子排列、分子的缔合形式也与这个数列接近。菲波那契数列的奥妙在于相邻两个数的比值近似于黄金分割率。如果说向日葵和菊花按黄金螺旋排布，是为了使单位面积内花瓣或种子排列数目最多，那么在人类的乐章中出现黄金分割率的踪影，则可能是作曲家下意识的艺术思维与大自然共振的结果。

莫扎特在菲波那契数列在音乐中得到普遍的应用，如常见的曲式类型与菲波那契数列头几个数字相符，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声则又从三发展到五部结构。黄金分割比例与音乐中高潮的位置有密切关系。我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：如莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（160×0.618=98.88）。据美国数学家乔?巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。我们未必就能弄清，莫扎特是有意识地使自己的乐曲符合黄金分割呢，抑或只是一种纯直觉的巧合。然而美国的另一位音乐家认为。“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。”

贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。

肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式。全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节，再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在，真是巧夺天工。

拉赫曼尼诺夫的《第二钢琴协奏曲》第一乐章是奏鸣曲式，这是一首宏伟的史诗。第一部分呈示部悠长、刚毅的主部与明朗、抒情的副部形成鲜明对比。第二部分为发展部，结构紧凑，主部、副部与引子的材料不断地交织，形成巨大的音流，音乐爆发高潮的地方恰恰在第三部分再现部的开端，是整个乐章的黄金分割点，不愧是体现黄金分割规律的典范。此外这首协奏曲的局部在许多地方也符合黄金比例。

俄国伟大作曲家里姆斯·柯萨科夫在他的《天方夜谭》交响组曲的第四乐章中，写至辛巴达的航船在汹涌滔天的狂涛恶浪里，无可挽回地猛撞在有青铜骑士像的峭壁上的一刹那，在整个乐队震耳欲聋的音浪中，乐队敲出一记强有力的锣声，锣声延长了六小节，随着它的音响逐渐消失，整个乐队力度迅速下降，象征着那艘支离破碎的航船沉入到海底深渊。在全曲最高潮也就是“黄金分割点”上，大锣致命的一击所造成的悲剧性效果慑人心魂。

音乐与物理

人类历史上第一件物理仪器便是在兽骨上打一孔，制成一支简陋的骨笛，它是乐器，也是物理上的共振器。可以说任何一种乐器都是一种声学仪器。

一个乐器必然有声源，即振动源。弦乐器的振动源是振动的弦线。管乐器的振动源可以是振动的簧片，如单簧管，可以是嘴唇的振动，如铜管乐器，也可以是边棱形成的气流振动，如笛子。簧振乐器的振源是簧片的振动，鼓的振源是一个圆膜，钟的振源是整个钟体，电子乐器的振源可以是石英振荡器或是振荡电路。振源是任何乐器必不可少的。

乐器都有发声体。有的乐器的振源就是发声体，如鼓皮、钟体、口琴或手风琴的簧片等。管乐器是靠管来决定音调的。空气在管内形成驻波，通过管口把声音传播出去而发声。有的簧管乐器是由簧和管共同决定音调、在管口处发声的。

不少乐器的发声体还包括了共鸣体，如提琴的弦线振动发出一定音调的音，但声音很小，几乎听不出来，通过琴马、音柱把振动传到琴箱的上下音板，使弦线与琴箱产生共鸣，才能发出我们现在所听到的提琴的声音。这利用的是物理上的共振原理。我国唐朝有一本名叫《刘宾客佳记录》的书中，记有一则故事：洛阳某僧房中的磐经常在斋钟敲响的时候自鸣，僧人由此被吓出病来了。他的朋友曹绍夔得知以后，用锉刀把磐锉去几个地方，于是，当钟再敲响时磐就不自鸣了，这是因为磐与钟的振动频率相同而引起的共振，而把磐磨掉一些就改变了它的固有频率，于是就与钟不产生共振了。

亥姆霍兹共振子

有些乐器还有附件，如大提琴的支杆是一种支持体，还如柳琴的拨子、风琴的风箱、提琴的指板、琴马等。这也同仪器一样，要有个支腿、配件等。

钢琴的击弦机械是一套非常复杂而灵巧的多级复合杠杆

乐器作为一种声学仪器，除了本身结构以外，其发声原理、声驻波的形成、声频的合成、声波的传播、电子乐器的调制和控制、数字音源的制作、线路或结构设计等都是物理内容。

乐器的分类要以其发声的物理机制为依据。制作乐器材料的性能，如湿度、硬度、弹性模量、密度、声波在材料中的传播速度、材料的阻尼性质、声阻抗等，都是物理属性。材料的处理，如人工老化、加湿、烘烤、上保护层等，都是物理方法，用的是物理测量仪器。许多研究乐器的方法如频谱分析、波形观察、激光全息、声电模拟等等都是物理方法。乐器的保存和维护如保持一定温度、湿度等，都是物理环境。

音乐与数学

若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起。在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中。今天的计算机科学正在使这条纽带绵延不断。

常美丽而又毫不费力地融为一体的。如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系。

毕达哥拉斯学派笃信宇宙的本质是数与和谐

毕达哥拉斯学派（公元前585～前400）是最先用比率将音乐与数学联系起来的。传说古希腊哲学家毕达哥拉斯有一天外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小，发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。而后，他又在琴弦上做试验，进一步发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。

小提琴大师梅纽因所仰慕的巴赫的赋格曲和平均律音阶，正是西方严肃音乐中所有基本逻辑和数学般严密的音响推理的集中体现。巴赫的48首十二平均律钢琴曲，实际上是数学计算得出的声音的和谐。

十二平均律的计算成果并不是西方人的发明，我国明代的没落贵族朱载堉早在16世纪就已经完成十二平均律的理论和计算。朱载堉是明朝开国皇帝朱元璋的九世孙，11岁时被册封为世子，其弱冠之年便以“数学之旨颇得其要”而知名。

朱载堉（1536—1611）明代天文、数学家

在朱载堉之前的几千年里，无论中外都在探索音乐上的旋宫问题，但是基于三分损益法或五度相生法，连续进行12次运算后，并不能返相为宫。在一八度内设定12个半音，需建立起12个相等音高的“梯级”，可是在朱载堉的时代，产生这样的科学概念并不容易，更何况当时没有求解等比数列的数学方法。朱载堉开创“新法密率”，用81档的大算盘开平方、开立方，在黄钟正律和黄钟倍律之间求出了11个数，并精确到小数点后24位，相形之下，今天的袖珍计算器也只有十位数，可见他思维的缜密与所费劳力之巨。朱载堉将十二平均律定义为：置一尺为实，以密率除之，凡十二遍。与今天对十二平均律的标准定义完全一致。

他还将平均十二律应用到管上，提出了适合我国传统律管的管口校正公式，并创制了我国历史上第套按平均律发音的律管。他使十三支管的长度和平均律各律数值相对应，并使各律管的内径随音高递增而递减。

朱载堉发明的81档的大算盘

18—19世纪，“王子载堉”的名字传遍了欧洲学术界，德国物理学家亥姆霍兹在他的《论音感》著作中写道：“在中国人中，据说有一个王子叫载堉的，他在旧派音乐家的反动声中，倡导七声音阶，把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国度发明的。”而朱载堉用毕生心血撰写的《律学新说》、《律吕精义》、《乐舞全谱》等进献朝廷，万历皇帝谕交礼部“宣付史馆，以备稽考”，结果束之高阁。

算出你的乐章

你可曾对大型钢琴为何制作成那种形状表示过疑问？实际上许多乐器的形状和结构与各种数学概念有关。不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状。如果所有乐声都可用数学式来描述，这数学式可为是简单的周期正弦函数的和，声音的三个性质音高、音量和音质又可在图形上清楚地表示出来，音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关，那么，为什么不能用计算的方法来作曲呢？或许数学家还可兼职一门“算曲”的工作。

钢琴的波形与弦乐的波形

从古希腊毕达哥拉斯学派到现代的宇宙学家和计算机科学家，都或多或少受到“整个宇宙即是和声和数”的观念的影响，开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈代等人都潜心研究过音乐与数学的关系。数学、几何与哲学相契携行，渗进西方人的全部精神生活，透入到一切艺术领域而成为西方艺术的一大特色。圣奥古斯汀留下“数还可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”的名言，德国著名哲学家莱布尼茨则说：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成。”

现代作曲家巴托克、勋伯格、凯奇等人都对音乐与数学的结合进行大胆的实验。希腊作曲家克赛纳基斯（1933~）创立“算法音乐”，以数学方法代替音乐思维，创作过程也即演算过程，作品名称类乎数学公式，如《 S+/10-1.080262 》为10件乐器而作，是1962年2月8日算出来的。马卡黑尔发展了施托克豪森的“图表音乐”的思想，以几何图形的轮转方式作出“几何音乐”。

中世纪宗教音乐的代表格列高利圣咏、印象派音乐代表德彪西的前奏曲、爵士萨克斯演奏大师约翰·柯川的爵士乐即兴创作，是三种类型的音乐，除了都有和弦行进技巧和优美曲调之外，常人听起来感觉是如此的截然不同。但多年以来，乐理学家们都知道，在三种截然不同的音乐中，有着某种相近的联系。 

只是，这种联系是什么，自西方音乐诞生以来，这个问题就困扰着乐理学家。今天，美国普林斯顿大学的作曲家蒂莫捷科终于可以给大家提供自己的答案：借鉴数学和几何学的方法，蒂莫捷科描绘出了各种音符和和弦栖息发展的“音乐地图”。 

根据蒂莫捷科的理论，和弦所存在的空间是一个奇异的、多维的空间，蒂莫捷科把它叫做“轨道折叠”，在这里，音符形成的链条像数学领域常用的麦比乌斯带（Mobiusstrip，将一条环带的两个端边拉转180度后黏合）一样扭曲连接。蒂莫捷科的研究证明，一个最简单的只包含两个音符的和弦，它的形态就是一个麦比乌斯带；而一个包含三个音符的和弦，形态则类似棱柱；更复杂的和弦的形态就很难以我们熟知的形状来表达了。

科学家与音乐

古今中外许多优秀科学家具有精深的音乐修养。在科学史上，不乏科学家创造发明得益于音乐的有趣事例。如：18世纪大数学家拉格朗日，在意大利都灵的圣保教堂聆听圣乐时，萌发了求积分极值的变分法念头；德国物理学家海森堡，由于受音乐理论中泛音振动的频率是基音振动的整倍数的启发，做出了原子跃迁的基频与次频的实验；英国化学家纽兰兹受音阶的启示而发现了原子递增的规律从而创造了“八音律”表。至于20世纪两位物理学巨擘“相对论”的开创者爱因斯坦和“量子论”的开创者普朗克的小提琴与钢琴二重奏已成为科学界的美谈。

在拉奏小提琴的同时，爱因斯坦的脑袋里也在拨动着宇宙的琴弦

爱因斯坦是20世纪世界最杰出的科学家，音乐和物理伴随了他的一生。小爱因斯坦儿时并没有显露出天才，4岁还不大会说话，人们怀疑他是低能儿。上小学时，除了数学外，其他成绩很差。该校训导主任甚至对爱因斯坦的父亲断言：“你的儿子将是一事无成。”然而，正是这么个“低能儿”，终于成为20世纪最伟大的科学家，创立了震惊世界的“相对论”。在这一伟大科学理论的背后，音乐起了不可抹煞的作用。

爱因斯坦从小就受到良好的音乐教育，他的母亲让他学小提琴和钢琴，本意在于训练音乐技能，实际上她不自觉地为儿子安排了一个身、脑同步训练的最佳方案。音乐启迪了他的智力，为他打开了通向科学道路的大门。1912年8月的一个早晨，爱因斯坦喝完咖啡后走到钢琴前面开始弹琴，他时而弹几下，时而又停止，记下一些什么，接着他跟妻子说了一声：“我有一个奇特的想法，”然后就钻进楼上的书房，一个多星期未曾下楼。当他下楼时，把几张稿纸在妻子眼前摊开，稿纸上尽是一些奇怪的公式符号。这就是后来震惊世界的“相对论”。

爱因斯坦酷爱音乐而且造诣很深，在整个科学生涯中，他心爱的小提琴总是陪伴着他。他经常在科学研究的暇隙中坐在钢琴旁弹奏贝多芬的乐曲，或者拉起小提琴，以便消除一下精神的疲劳。他谙熟巴赫、海顿、莫扎特等大师的作品，善于在音乐的演奏中驰聘想象，从而获得灵感的启示。这大大有助于他的科学研究。爱因斯坦说：“在科学思维中，永远存在着音乐的因素，真正的科学和真正的音乐要求同样的思维过程。”又说：“我在科学上的成就，很多是由音乐启发的。”

理想的听音房间的形状尺寸，应按黄金分割比例，三个尺寸（长、宽、高）不成整数倍的关系，以使房间内的驻波影响降低，提高听感。其次要隔声，使房间内外不致干扰，并使声音扩散，还要有适当的吸声，以免声波往复反射激发出某些固有频率（简正频率）的声音干扰，造成声染色。

全当引砖抛玉，清高手指点。