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 Post By：2009-5-17 6:48:46 [显示全部帖子]
只有晴朗的解答是正确的, 但是他没讲清楚为什么RN=RN-1. 楼主把人问住后也跑了.
从右端看, 第一级电阻R1显然是3R,
第二级相当于第一级R1再与R并联后, 另外加上2R, 所以R2要小于3R, 同样第三级是第二级与R并联后
再加上2R, 可以由并联电路的基本原理知道, 作为一个并联因子的R不变时, 另一个因子越小,最后结果越小,所以
R3会比R2要小,同理推得第N级电阻RN要比第N-1级RN-1小,所以这是一个单调递减数列, 但最大的项是第一项R1=3R.
现在再来证明数列有下界, 第二项R2=2R+(R*R1)/(R+R1), 大于2R+R*R/(3R+R)=2R+(1/4)R,这很容易理解,
因为右端分式R1大于R, 而小于3R.同理第三项R3=2R+(R*R2)/(R+R2), 也大于2R+(R*R)/(R+3R)=2R+(1/4)R,
可看出任何一项RN均大于2.25R,所以这个数列的一个下界是2.25R, 根据极限定理的推论, 单调递减数列若存在下界必然收敛, 所以知道这个数列是有极限的. 这个极限在2.25R与3R之间, 当N→∞ 时, RN=RN-1,(如数列不存在极限,则不能用这种方法算),所以有方程 RN=2R+(RN*R)/(R+RN), 化简后是一个一元二次方程, 解出根为RN=R±√3R
其中R-√3R是负根,不合舍去, 得最终答案RN=R+√3R≈2.7320508R
实际上, 第一级R1=3R, 第二级R2=2R+(3/4)R=2.75R, 第三级R3=2R+(11/15)R=2.7333R, 第四级R4=2R+(41/56)R
=2.73214R, 第五级R4=2R+(153/209)R=2.73206R, 可以看出距离极限已经相当接近, 实际上这种分压网络到第三级的精度就足够了.
这道题问了一年多以后才有结果, 这里的人的效率也够低的. 而且前面答案已出了,后来者还被误导,属失败.
至于db问的将R换成喇叭结果会怎么样,越往后面级的电流相当小,喇叭根本无声,所以此问题问得毫无意义
[此贴子已经被作者于2009-05-17 07:24:22编辑过]
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